什么是二次方程？

二次方程是最高次数为2的方程，形式为 ax² + bx + c = 0，其中a、b、c是常数且a ≠ 0。例如 x² - 5x + 6 = 0、2x² + 3x - 2 = 0等。二次方程的图像是抛物线，图像与x轴的交点是方程的解（根）。

什么是求根公式？

求根公式是 x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a。使用这个公式可以解任何二次方程。例如在 x² - 5x + 6 = 0中，a=1、b=-5、c=6，代入得 x = (5 ± √(25-24)) / 2 = (5 ± 1) / 2，所以 x = 3 或 x = 2。这个公式由16世纪的数学家完善。

判别式的含义

判别式 Δ = b² - 4ac 决定方程根的性质。如果 Δ > 0，有两个不同的实根；如果 Δ = 0，有重根（两个相同的实根）；如果 Δ < 0，有两个复数根。例如 x² - 4x + 4 = 0 的 Δ = 16 - 16 = 0，所以 x = 2（重根）。x² + x + 1 = 0 的 Δ = 1 - 4 = -3 < 0，所以有复数根。

二次方程的图像

二次方程 y = ax² + bx + c 的图像是抛物线。如果 a > 0，开口向下（向上凹）；如果 a < 0，开口向上（向下凹）。顶点的x坐标是 -b/2a，对称轴是 x = -b/2a。图像与x轴的交点是根，根的数量可以由判别式确定。

与因式分解的关系

当 ax² + bx + c = 0 的两个根是α和β时，方程可因式分解为 a(x - α)(x - β) = 0。例如，由于 x² - 5x + 6 = 0 的根是2和3，所以可因式分解为 (x - 2)(x - 3) = 0。根与系数的关系中，α + β = -b/a，αβ = c/a。

二次方程的实际应用

二次方程用于物理学中的抛物线运动（球的轨迹）、建筑中的拱门设计、经济学中的利润最大化和工程中的优化问题。例如，从高度h抛出的球的高度 y = -5t² + 20t + h，球落地的时间（y=0）可以通过解二次方程求得。

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